Что делать, если лень запоминать формулы арифметической прогрессии?


Арифметическая и геометрическая прогрессии являются важным математическим инструментом, применяемым слишком часто, чтобы можно было обойтись без него.

Умение распознавать и применять прогрессии сопряжено со знанием основных формул, но я из тех людей, которые не любят захламлять свою память и заучивать зазря. Поэтому предлагаю Вам, уважаемый читатель, вывести формулы для арифметической и геометрической прогрессий вместе со мной.

Как Вы увидите далее, всё предельно просто. Ну что, поехали? =)

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Арифметическая прогрессия (далее АП) – ряд чисел, в котором каждое последующее число получается путём прибавления к предыдущему определённого числа d, называемого шагом или разностью АП.

 

Примеры АП:

 

  • ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … (d = 1)
  • ряд из одного и того же числа: 12, 12, 12, … (d = 0)
  • ряд целых отрицательных чисел: -1, -2, -3, … (d = –1)

 

При d > 0 АП расходится (уходит в бесконечность), и предел n-го члена, при n → ∞, равен +∞. При d < 0 АП расходится, и предел n-го члена равен -∞, а при d = 0 АП сходится (к определённому числу), и предел n-го члена, очевидно, равен первому члену АП.

 

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Выведем формулу для получения n-го члена арифметической прогрессии.

Обозначим первый член АП как А1, а шаг – как d, тогда

 

 

А2 = А1 + d

 

А3 = А2 + d = (А1 + d) + d = А1 + 2d

 

А4 = А1 + 3d

 

 

Можно заметить, что с каждым последующим членом АП к первому члену прибавляется шаг d, умноженный на номер искомого члена прогрессии минус 1. Таким образом, формула для нахождения n-го члена АП будет иметь вид:

 

 

Аn = А1 + (n – 1) d

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Теперь выведем формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии, обозначив эту сумму Sn.

 

Запишем эту сумму два раза, только в первой записи начнём с первого члена, а во второй – с последнего и в обратном порядке. Для простоты положим n = 3.

 

 

S3 = A1 + A2 + A3

 

S3 = A3 + A2 + A1

 

 

Теперь сложим эти суммы, но не перемешивая члены между собой. В итоге получим следующее выражение для удвоенной суммы:

 

 

2S3 = (A1 + A3) + (A2 + A2) + (A3 + A1)

 

 

Разложим все эти члены через первый:

 

 

2S3 = (A1 + A1 + d + d) + (A1 + d + A1 + d) + (A1 + d + d + A1)

 

 

Как легко заметить, итоговые суммы в каждой отдельной скобке равны между собой. Уменьшим нашу запись:

 

 

2S3 = 3 (2A1 + 2d)

 

 

А теперь остаётся только разделить обе части на 2, чтобы отыскать искомую сумму первых n (в нашем примере трёх) членов:

 

 

S3 = 3 (2A1 + 2d) / 2

 

 

1 + 2d получилось у нас из скобки 1 + А3), то есть в результате сложения первого и последнего членов. То есть, в общем случае это будет А1 + An. Запишем формулу суммы первых n членов АП в общем виде:

 

 

Sn = ( A1 + An ) * n / 2

 

 

При желании можно подставить вместо An уже выведенную нами формулу для поиска n-го члена АП:

 

 

Sn = ( A1 + А1 + (n – 1) d ) * n / 2

 

Sn = ( 2А1 + (n – 1) d ) * n / 2

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Как можно видеть, данные формулы выводятся предельно просто, поэтому тратить время и силы на их запоминание – занятие необязательное.

Спасибо за внимание!

Предмет: Математика (остальное) | | | Теги: Вывод, школьная математика, арифметическая прогрессия, математика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close