Что такое комплексные числа и зачем они нужны?


«Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы»

 

Готфрид Лейбниц

 

 

С малых лет мы все знакомы с понятием натуральных чисел. Натуральные числа – это числа, которыми можно сосчитать предметы вокруг нас. Один предмет, два предмета, три предмета… Натуральные числа интуитивно понятны и привычны.

 

Целые числа уже не так очевидны, и человечеству понадобилось несколько веков, чтобы к ним прийти. Но пришли всё-таки: при подсчёте долгов. Целые числа – совокупность натуральных и отрицательных чисел (сюда же входит и нуль – научное сообщество ещё не определилось до конца, стоит ли включать нуль во множество натуральных чисел).

 

Следующий этап – рациональные числа. Сюда входят числа, представимые в виде обыкновенных дробей, например, 1/3, 53/21 и т.п. Такие тоже легко получить в реальной жизни – разрежь что-нибудь на 3 части – вот тебе и 1/3. Очевидно, что натуральные и целые числа являются рациональными: 12 = 24/2, -5 = -15/3.

 

Казалось бы, достаточно. Но давайте попробуем найти диагональ квадрата со стороной, равной 1, или, что тождественно, гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника с ребром, равным 1. По теореме Пифагора гипотенуза будет равна √2. Можно ли представить √2 в виде обыкновенной дроби? Как оказалось, нельзя. Доказательство тривиально и приведено на картинке ниже:

 

 

Значит, рациональных чисел всё-таки недостаточно. Числа вроде √2, не представимые в виде обыкновенной дроби, называются иррациональными, а вместе рациональные и иррациональные числа дают множество действительных чисел. К этому множеству относятся, например, π и е.

 

Ну, теперь-то точно всё? Да нет, Вы же читали название статьи. Сейчас как раз и начинается самое интересное =)

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Может, Вам, как и мне, в школе при решении квадратных уравнений говорили: «Дискриминант отрицательный, значит, решений нет». Так вот, это не совсем правда. Вся проблема в том, что для нахождения корней уравнения из дискриминанта надо было брать корень, а корней из отрицательного числа, как учили нас, не существует.

 

 

Встречайте: i.

 

i – мнимая единица

 

 

 

 

 

Если "приставить" i к обыкновенному действительному числу, как раз и получится число комплексное.

 

В общем случае комплексное число имеет вид

 

 

z = a + bi, где

 

 

i – мнимая единица,

 

a, b – действительные числа,

 

z – комплексное число.

 

 

Часть а в данном случае называется действительной частью комплексного числа z, а biмнимой.

 

Ладно, поверим.

 

Возьмём любое число такого вида, ну, скажем, z = 1 + 2i. И где это число на числовой оси? Оно больше 1 или меньше?

 

И тут мы сталкиваемся с чем-то совсем непривычным: это число нельзя изобразить на числовой прямой. Для комплексных чисел нужна целая ПЛОСКОСТЬ.

 

Вот так выглядит комплексная плоскость или плоскость Аргана:

 

 

 

 

По привычной нам оси абсцисс (х) отложена действительная часть (Re = real) комплексного числа, по оси ординат (у) – мнимая (Im = imaginary).

 

Причём единичный отрезок мнимой оси не 1, а уже знакомая нам мнимая единица i.

 

Если Вам это не нравится, не беспокойтесь, - великому Лейбницу тоже не понравилось =)

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Важным в теории комплексных чисел является понятие комплексного сопряжения. Комплексно-сопряжённым числу z называют число z*, если z = a + bi, а z* = a – bi. То есть единственное, что меняется – знак перед мнимой частью, - всё просто.

 

 

На этом рисунке r – так называемый модуль комплексного числа. Модуль комплексного числа обозначает длину отрезка (умными словами «радиус-вектора»), соединяющего начало отсчёта (точку (0; 0)) и комплексное число.

 

Очевидно, модуль комплексного числа и числа, сопряжённого ему, одинаковый.

 

Ладно, что-то слишком просто.

 

Давайте рассмотрим другое представление комплексных чисел:

 

 

z = r (cosφ + isinφ), где

 

 

z – комплексное число,

 

r – модуль комплексного числа,

 

i перед синусом – мнимая единица.

 

Это выражение, по сути, следует из самих понятий синуса и косинуса. Упростим: пусть модуль r равен 1, то есть мы работаем с радиус-вектором единичной длины, тогда его косинус будет просто равен проекции на ось х, а синус – на ось у. Вспоминайте школьную тригонометрию =)

 

 

Учтём теперь, что r не обязательно равен 1, а по оси у мы отсчитываем длину не в единицах, а в мнимых единицах i, вот и получится данное выражение.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Закончим знаменитой формулой Эйлера:

 

 

Это, пожалуй, тема для отдельной статьи, но не могу уйти, не показав Вам свою самую любимую формулу математики.

 

Заменим в формуле Эйлера х на π.

 

Косинус π равен -1, а синус π равен 0. Перебросив -1 в другую часть уравнения, получим:

 

 

Эта формула называется "Euler’s Identity" (по-нашему "Тождество Эйлера") и по праву считается одной из самых красивых формул математики.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Вызывает восхищение то, как человеческий разум может придумать что-то, казалось бы, столь далёкое от реальности, а потом открыть, что это что-то идеально подходит для описания реальности, к которой никто не был готов. Но это уже совсем другая история =)

Предмет: Основы высшей математики | | | Теги: математический анализ, математика, высшая математика, комплексные числа, линейная алгебра
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя *:
Email *:
Все смайлы
Код *:
close