Как описать состояние и поведение квантовомеханической системы математически?


«Пока математические законы описывают действительность, они неопределенны; когда они перестают быть неопределенными, они теряют связь с действительностью»

 

Альберт Эйнштейн

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Квантовая физика поражает воображение своими парадоксами. Частица - это волна, электрон проходит через обе щели одновременно и интерферирует сам с собой, а запутанные фотоны нарушают принцип локальности.

 

В описании всех наблюдаемых явлений физикам всегда помогала математика. В квантовой механике она выходит на первый план и становится незаменимым инструментом для объяснения контринтуитивного поведения микромира. Именно о математическом аппарате квантовой физики мне и хотелось бы рассказать.

 

"Вспомогательные" статьи по высшей математике:

 

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Начнём с определения пространства, в котором будем работать. В квантовой механике комплексное векторное пространство состояний квантовой системы состоит из элементов, обозначаемых |A〉. Это так называемый "кет-вектор" или просто "кет". Кет представляет из себя обычный вектор любой размерности, элементами которого выступают комплексные числа. Пример двумерного кета представлен ниже:

 

 

Если применить к компонентам кет-вектора комплексное сопряжение и транспонировать (записать в виде матрицы-строки), получится "бра-вектор" или просто "бра":

 

 

z|A〉* = 〈A|z*, где

 

 

z – комплексное число,

 

z* – комплексно-сопряжённое с z.

 

 

Внутреннее произведение бра и кетов обозначается как 〈A|A〉, откуда становится понятным их название: bra + ket = bracket (англ. "скобка").

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Внутреннее произведение 〈A|В〉 - это так называемая амплитуда вероятности того, что частица из состояния В перешла в состояние А (именно в таком порядке – сначала «читается» кет, потом бра).

 

Внутреннее произведение 〈A|В〉 примечательно тем, что кет |В〉 – вектор-столбец размера Nx1, а бра 〈A| – вектор-строка размера 1xN, значит, при перемножении 〈A|В〉 получается матрица размера 1х1, то есть просто число (обычно комплексное).

 

Сама по себе амплитуда вероятности не имеет физического смысла, зато квадрат модуля этой амплитуды определяет вероятность того, что частица перейдёт из состояния В в состояние А:

 

 

|〈A|В〉| 2 = P

 

 

Для лучшего понимания рассмотрим конкретный пример: пусть частица покидает точку S (start) и попадает в точку F (finish). Амплитуда вероятности такого события будет записываться как:

 

 

частица попадает в F | частица покидает S 〉

 

 

Для краткости будем далее использовать сокращение 〈F|S〉.

 

Положим теперь, что частица может попасть в точку F двумя путями: через точку 1 или через точку 2, тогда полная амплитуда данного процесса будет просто суммой амплитуд этих двух путей по-отдельности:

 

 

Полная 〈F|S〉 = 〈F|S〉 через точку 1 + 〈F|S〉 через точку 2

 

 

Полная амплитуда того, что частица последовательно пройдёт на своём пути сначала точку 1, а потом и точку F, будет являться, в свою очередь, произведением амплитуд прохождения от S до 1 и от 1 до F:

 

 

〈F|S〉 через точку 1 = 〈F|1〉 〈1|S〉

 

 

Таким образом, складывая оба принципа, получим следующее: если частица из точки S может попасть в точку F двумя путями (через точку 1 или точку 2), то полная амплитуда того, что частица из S попадёт в F, равна:

 

 

Полная 〈F|S〉 = 〈F|1〉 〈1|S〉 + 〈F|2〉 〈2|S〉

 

 

Если Вы знакомы с основами теории вероятностей, то наверняка заметили аналогию с её базовыми принципами.

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

В следующей статье с помощью этих простейших принципов я постараюсь объяснить знаменитый эксперимент с двумя щелями. Спасибо за внимание!

Предмет: Математика квантовой физики | | | Теги: амплитуда вероятности, квантовая физика, физика, векторы
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close