Что такое дельта-функция Дирака и зачем она нужна?


На данной лекции из цикла «Обобщённые функции» мне хотелось бы подробнее остановиться на δ-функции Дирака и её воздействии, как обобщённой функции, на функции основные. О понятиях обобщённой и основной функций можно почитать в предыдущей статье настоящего цикла.

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Рассмотрим материальную точку массы m = 1. Расположим эту точку в начале координат и попробуем найти плотность ρ, создаваемую этой точкой. Для этого «размажем» массу m по шару радиуса r, а затем устремим этот радиус к нулю.

 

Положим, что плотность распределена по шару равномерно, и учтём, что плотность = масса / объём ( ρ = m / V ). Плотность вне нашего шара будет равна нулю, а внутри шара – массе (1), делённой на объём этого самого шара (4πr3/3, по формуле объёма шара). В итоге функция средней плотности будет иметь вид:

 

 

Устремим радиус r к нулю, чтобы прийти к плотности материальной точки. Обозначим эту плотность δ(х) и найдём предел последовательности функций f(x) при r → 0:

 

 

Интеграл от плотности вещества ρ по объёму V должен давать массу m вещества. Масса нашей материальной точки равна 1, значит:

 

 

Именно здесь и возникает противоречие, т.к. функция δ(х) не равна 0 только в одной точке, а именно, в точке х = 0. А определённый интеграл в отдельной точке равен 0. Данное противоречие показывает, что использованный нами поточечный предел последовательности f(x) при r → 0 не может быть использован для определения функции плотности δ(х).

 

Давайте попробуем вычислить предел по-другому: для любой непрерывной функции φ найдём предел следующей числовой последовательности:

 

 

Такой предел будет равен функционалу φ(0). За доказательством отсылаю Вас к углублённым учебникам по математической физике. Или можете просто поверить мне на слово =)

 

Функционал φ(0) ставит в соответствие каждой функции φ(х) число φ(0), равное значению функции φ в нуле. Этот функционал и принимается за определение функции плотности материальной точки δ(х). Это есть δ-функция Дирака.

 

Таким образом, обобщённая функция Дирака, воздействуя на основную функцию, выдаёт по итогу число, равное значению основной функции в нуле:

 

 

Возвращаясь к классическому нахождению массы, масса m равна интегралу по объёму от функции плотности. Подставляя вместо функции плотности нашу δ-функцию, имеем:

 

 

Для корректного использования функционала под интегралом ещё должна быть функция, на которую мы воздействуем, а именно, функция φ. И она там уже есть. Не верите? =) Взгляните ещё раз:

 

 

Наша функция φ в данном случае просто равна 1, так что всё законно =) По определению δ-функции превратим интеграл в более компактную запись:

 

 

Функция φ(х) = 1 в нуле равна единице, поэтому наш интеграл даст нам массу:

 

 

Если бы наша точка имела массу не 1, а, скажем, m, то плотность была бы равна mδ(х). Если бы масса была сосредоточена не в точке х, а в произвольной точке х0, то плотность была бы равна mδ(х - х0), причём

 

 

Если же плотность сосредоточена в нескольких точках хk, и каждая точка обладает своей массой mk, то суммарная плотность будет равна

 

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Отметим ещё раз, что подобная идеализированная модель, как плотность материальной точки, не может быть выражена при помощи обычных функций, т.к. при их использовании возникает неустранимое противоречие. Обобщённые же функции позволяют математически корректно описывать как подобные модели, так и случаи использования кусочно-разрывных функций при решении задач математической физики.

 

Спасибо за внимание!

Предмет: Обобщённые функции | | | Теги: математическая физика, высшая математика, обобщённые функции, математика, функция Дирака
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close