Как разрешается парадокс двухщелевого эксперимента с математической точки зрения?


В предыдущей статье из цикла "Математика квантовой физики" были кратко изложены основные принципы математики квантовой физики, с которыми мы будем работать далее. Повторим их здесь в виде тезисов для лучшего закрепления:

 

1. Вероятность перехода частицы из состояния S в состояние F равна квадрату модуля амплитуды вероятности частица попадает в F | частица покидает S 〉.

 

2. Полная амплитуда при наличии нескольких возможных путей попадания из S в F равна сумме амплитуд прохождения по каждому из путей по-отдельности:

 

 

Полная 〈F|S〉 = 〈F|S〉 по первому пути + 〈F|S〉 по второму пути + ... + 〈F|S〉 по n-му пути + …

 

 

3. Полная амплитуда одного пути, в свою очередь, равна произведению амплитуд каждой части этого пути:

 

 

〈F|S〉 по первому пути = 〈 F | точка n 〉 〈 точка n | точка n-1 〉 … 〈 точка 2 | точка 1 〉 〈 точка 1 | S 〉

 

 

Поставляя пункт 3 в пункт 2, получим более общее выражение для полной амплитуды, где каждый путь будет разбит на более мелкие пути от одной точки к другой.

 

В первой статье были указаны более простые представления этих принципов на примере только двух возможных путей. Не беспокойтесь, мы уже спешим вернуться к этой простоте =)

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Перед математическим разбором эксперимента с двумя щелями стоит вкратце описать его. Пусть имеется источник частиц S и конечный проекционный экран F, регистрирующий попадающие на него частицы. Между ними поставим непрозрачную пластинку с двумя параллельными щелями. Первой щели присвоим номер 1, а второй, соответственно, - 2.

 

В эксперименте Юнга участвовал монохроматический свет, его пропускали через щели, и на выходе, вместо двух полос непосредственно за щелями, свет давал интерференционную картину:

 

 

Согласитесь, если бы свет представлял собой поток частиц, то ожидаемой была бы первая картинка. Если б Вы стреляли из пистолета то через одну щель, то через другую, то основное количество следов от пуль в стене оказывалось бы либо за одной щелью, либо за другой.

 

В данном же случае двухщелевой эксперимент демонстрирует волновую природу света. Поток света разбивается на два потока двумя щелями, и волны одного потока интерферируют с волнами другого: максимумы усиливают максимумы, минимумы усиливают минимумы, а минимум и максимум, наложенные друг на друга, дают нуль:

 

 

Но, как оказалось, такую же картину на выходе даёт не только свет. И если насчёт света ещё были споры, волна он или частица, то уж насчёт электрона вроде сомнений не было. Но, как оказалось, в эксперименте с двумя щелями электроны также проявляют волновые свойства и дают интерференционную картину.

 

Хитрые физики решили «подсмотреть», через какую щель пролетает каждый электрон, чтобы понять, что происходит. Для этого за щелями были поставлены детекторы. И тут самое интересное – при наличии детекторов, сообщающих, через какую щель пролетел каждый отдельный электрон, интерференционная картина исчезала, и оставались только две ожидаемые полосы позади щелей, как на первом рисунке слева.

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Итак, наша итоговая модель для математического разбора: источник электронов S испускает электроны. Они проходят через щели 1 и 2 и попадают на регистрирующий экран F. При таком раскладе получается интерференционная картина.

 

Облегчим себе жизнь и введём сокращения. Пусть амплитуда того, что электрон из S попадает в F через щель 1 будет обозначаться как φ1:

 

 

φ1 = 〈F|1〉〈1|S〉

 

 

через щель 2φ2:

 

 

φ2 = 〈F|2〉〈2|S〉

 

 

Добавим теперь позади щели 1 детектор D1, позади щели 2 – детектор D2, а между ними – источник света L (light). При условии, что детекторы действительно регистрируют электроны (то есть дают представление о том, через какую именно щель пролетел электрон), интерференционная картина пропадает, и электроны, подобно обычным шарикам, пролетающим через отверстие, группируются в две полоски позади щелей.

 

Для дальнейшего повествования важно объяснить, что именно подразумевается под «регистрацией» электрона и как это происходит. Источник света L испускает фотоны, кванты света. Электрон может поглотить фотон и испустить (рассеять) новый, который попадает в детектор и регистрируется им. Чем меньше длина волны фотона, тем более точное представление мы получаем о местонахождении электрона.

 

Детектор D1 стоит прямо у щели 1 и регистрирует фотоны только от электронов, проходящих через щель 1. Однако если длина волны фотона достаточно велика, то появляется также вероятность того, что электрон рассеет фотон в детектор D1, пройдя через щель 2 (из-за дифракционных эффектов). Важно заметить, что тогда ни источник света, ни детекторы не имеют смысла, потому что ситуация снова становится неразличимой – прошёл ли электрон через щель 1 или через щель 2. И действительно, чем больше длина волны фотона и чем более неточна информация о пути электрона, тем ближе итоговая картина на экране F к интерференционной картине, когда не было ни источника света, ни детекторов.

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Давайте уже наконец применим математический аппарат =)

 

Пусть амплитуда того, что электрон, пройдя через щель 1, рассеет фотон в детектор D1, равна α. Тогда амплитуда того, что электрон, вылетев из S, пройдёт через щель 1, рассеяв фотон в D1, и доберётся-таки до F, равна:

 

 

αφ1 = 〈F|1〉 α 〈1|S〉

 

 

Как мы уже обсудили, при увеличении длины волны фотона существует всё большая вероятность того, что детектор D1 зарегистрирует фотон от электрона, прошедшего не через щель 1, а через щель 2. Амплитуду этой вероятности обозначим β. Тогда амплитуда того, что электрон, вылетев из S, пройдёт через щель 2, рассеяв фотон в D1, и доберётся до F, равна:

 

 

βφ2 = 〈F|2〉 β 〈2|S〉

 

 

Таким образом, общая амплитуда того, что электрон дойдёт от S до F (неважно, через какую щель), а фотон при этом окажется в D1, равна:

 

 

αφ1 + βφ2

 

 

Аналогичные рассуждения можно применить и ко второму детектору D2. Амплитуда того, что электрон из S попадёт в F (неважно, через какую щель), а фотон окажется в детекторе D2, равна:

 

 

αφ2 + βφ1

 

 

Как мы уже знаем, вероятность какого-либо события равна квадрату модуля амплитуды вероятности данного события. Исходя из этого, вероятность попадания электрона в F, а фотона – в D1 будет равна

 

 

|αφ1 + βφ2

 

 

Рассмотрим это выражение более подробно.

 

 

Если β = 0, – а нам бы хотелось, чтобы это было именно так (детекторы точно дают понять, через какую щель пролетел электрон) – то вероятность равна просто 1 с множителем |α|². Это даёт распределение вероятностей, показанное на рисунке выше под буквой (а). Оно соответствует случаю наличия лишь одной щели.

 

С другой стороны, при увеличении длины волны фотона становится всё менее различимым, через какую щель прошёл электрон и от какой щели рассеялся фотон в детектор D1. При такой длине волны, когда α = β, возникает распределение вероятностей, обозначенное буквой (б). Оно эквивалентно ситуации, когда и детекторы, и источник света отсутствуют. Математически вероятность в данном случае имеет вид 1 + φ2, умноженное на |α|² (т.к. α = β, и множитель можно вынести).

 

Наконец, существуют и промежуточные варианты, когда 0 < β < α. Детектирование оказывается эффективным, но частично, и возникает промежуточное распределение вероятностей, показанное под буквой (в).

 

Напомним, что сейчас речь шла только о вероятностях, связанных с детектором D1. Рассуждения для D2, впрочем, аналогичны, и распределение вероятности для каждого конкретного случая получается наложением распределения вероятностей «электрон в F, фотон в D1» на распределение вероятностей «электрон в F, фотон в D2».

 

Полная вероятность того, что электрон попадёт из S в F (неважно, через какую щель), а фотон окажется или в D1, или в D2, равна:

 

 

|αφ1 + βφ2|² + |αφ2 + βφ1

 

 

 

Спасибо за внимание! 

Предмет: Математика квантовой физики | | | Теги: физика, двухщелевой эксперимент, амплитуда вероятности, векторы, Вывод, квантовая физика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close