Как решать дифференциальные уравнения первого порядка?


Дифференциальные уравнения играют первостепенную роль в решении задач математической физики, которой посвящён отдельный цикл лекций в моём блоге. Дифференциальные уравнения также являются одним из основных предметов изучения в курсе математического анализа, поэтому важно уметь их решать.

 

Различные типы дифференциальных уравнений решаются различными способами. На данной лекции рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений первого порядка, начиная с простейших, и приведём методы их решения.

 

Я постараюсь изложить всю теорию за одну эту лекцию в наиболее компактном виде, поэтому некоторые подробности решения примеров или вывода формул я буду опускать.

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

 

 

ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 

 

 

Начнём с дифференциальных уравнений, имеющих вид:

 

 

Этот случай самый простой: с одной стороны уравнения первая производная от у, а с другой – любая функция, зависящая только от х, или константа.

 

Рассмотрим, например, уравнение y' = 2x. Как найти у? Заменим y' на dy/dx, т.к. это одно и то же, и все части с у перекинем влево, а части с х – вправо, а затем проинтегрируем:

 

 

Интеграл ищется легко, поэтому просто приведём ответ:

 

 

Такой тип уравнений очень прост, поэтому не будем задерживаться на нём.

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Рассмотрим ещё один достаточно простой вид дифференциальных уравнений:

 

 

Уравнения такого типа решаются так же просто, как и предыдущие: все функции от х идут в одну сторону, а производная от у остаётся в другой. Дальнейший успех зависит только от Вашего умения брать интегралы, а это уже тема для отдельной лекции =)

 

 

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

 

 

 

Название говорит само за себя: в таких уравнениях функции, зависящие от разных переменных, можно раскидать по двум сторонам уравнения и опять-таки проинтегрировать. Общий вид таких уравнений следующий:

 

 

Уравнения такого вида решаются, в общем-то, так же просто, как и предыдущие: всё с игреками в одну сторону, с иксами – в другую. В итоге надо прийти к виду f(y)dy = g(x)dx. Давайте рассмотрим конкретный пример:

 

 

И всё, как и в предыдущих примерах, упирается в решение неопределённых интегралов.

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Рассмотрим более сложный случай, когда дифференциальные уравнения можно свести к виду с разделяющимися переменными. Например, уравнения такого вида:

 

 

Причём a и b принадлежат множеству действительных чисел.

 

Решим дифференциальное уравнение y' = 1/(6x + 7y), используя метод замены переменной. Пусть z = 6x + 7y, тогда:

 

 

Отсюда выражаем dz/dx и применяем уже знакомый нам метод разделения переменных:

 

 

После взятия интегралов всё сведётся к обычному (не дифференциальному) уравнению с переменными х и у, и останется только подставить вместо z исходные 6х + 7у и выразить у через х. Я, пожалуй, этого делать не буду. Отмечу только, что дифференциальные уравнения вида

 

 

тоже решаются методом замены переменной. В первых двух случаях производится замена z = x/y или y/x соответственно. Последний случай сводится к виду одного из первых двух путём введения переменных z1 = x – x1 и z2 = y – y1.

 

 

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

 

 

ЛНДУ имеют следующее общее представление:

 

 

P(x) и Q(x) – какие-то полиномы, зависящие от х.

 

Теория решения такого типа уравнений следующая: Q(x) в правой части просто заменяется нулём, и уравнение превращается в однородное. Как можно видеть, полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и решается, соответственно, разделением переменных и интегрированием:

 

 

Важно заметить, что при переходе от первой строки ко второй мы делили на у. Это значит, что у ≠ 0. Не стоит этого забывать.

 

Далее переходим к интегральной форме и решаем всё, что можем. Нам надо понять, как будет выглядеть решение в общем виде.

 

 

Константу мы можем изменять как хотим, поэтому подведём её под логарифм. А теперь каждую часть представим как степень экспоненты, чтобы избавиться от натуральных логарифмов:

 

 

Мы получили общее решение однородного дифференциального уравнения. Для того, чтобы найти общее решение НЕоднородного уравнения, перестанем считать С константой и заменим её на функцию от х, то есть вместо С теперь имеем С(х). Подставим это решение вместо у в наше исходное неоднородное уравнение:

 

 

Путём утомительных, но несложных преобразований мы в итоге придём к уравнению следующего вида:

 

 

Можете проверить или поверить мне на слово =) Данное уравнение уже является простейшим дифференциальным уравнением, метод решения которых мы разбирали вначале. Решив его и отыскав функцию С(х), подставим её в уравнение

 

 

Это и будет общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

 

Приведу пример, не отвлекаясь на пояснения, ибо буду действовать точно по схеме, изложенной выше:

 

 

Очевидно, что если всё это раскрыть, сократить и выразить, то получится вполне конкретное решение, но я больше теоретик (и мне очень лень =)), поэтому вот что у нас выходит в общем виде:

 

 

Надо было выбрать красиво сокращающийся пример из интернета, но мы не ищем лёгких путей.

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Скажу два слова об уравнении Бернулли и перейду к уравнениям в полных дифференциалах. Уравнение Бернулли имеет общий вид:

 

 

Решается уравнение такого типа путём сведения к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которые мы только что рассмотрели. Свести уравнение Бернулли к такому виду можно путём замены z = y1 – a.

 

 

 

 

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

 

 

 

Это последний из основных типов дифференциальных уравнений первой степени, рассматриваемых на данной лекции. Уравнение в полных дифференциалах имеет вид

 

 

Обратите внимание на вторую строку. Это условие, которое обязательно должно выполняться, чтобы уравнение в первой строке являлось уравнением в полных дифференциалах. Такой вид это условие имеет исходя из определения полного дифференциала. Полный дифференциал функции U(x, y) имеет вид:

 

 

Если выполняется наше условие, и Pdx+Qdy действительно является полным дифференциалом, тогда эти два выражения можно приравнять и получить систему из двух уравнений:

 

 

Выберем одно из этих уравнений, например первое, и с помощью интегрирования отыщем функцию U(x, y):

 

 

Дополнительная функция φ(у) возникает вследствие того, что интегрирование производится только по х, а у выносится в качестве константы за знак интеграла. Интеграл по х решается, а вот функцию φ(у) ещё надо отыскать. Для этого воспользуемся вторым уравнением из нашей системы и выразим неизвестную функцию φ(у) через него:

 

 

И, наконец, подставим найденную функцию φ(у) в найденное уравнение

 

 

Это и будет решение уравнения в полных дифференциалах.

 

Быстренько пробежимся по небольшому примеру и расходимся =)

 

 

Что ж, на этих красивых уравнениях, пожалуй, и закончим. А в следующий раз непременно разберём основные методы решения дифференциальных уравнений второго порядка. Спасибо за внимание!

Предмет: Математика (остальное) | | | Теги: математика, дифференциальные уравнения, высшая математика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close