Как решить задачу математической физики в общем виде методом Фурье?


Метод Фурье является одним из часто используемых методов решения задач математической физики. Метод Фурье (или метод разделения переменных) – метод решения дифференциальных уравнений, суть которого заключается в том, чтобы привести исходное уравнение к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных.

 

Для уравнений в частных производных схема приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье.

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Рассмотрим применение метода Фурье на примере задачи о свободных колебаниях струны. Пусть закреплённая на обоих концах струна совершает свободные колебания. Задача сводится к решению волнового уравнения (о классификации линейных дифференциальных уравнений здесь):

 

 

При следующих начальных условиях:

 

 

Как упоминалось в статье о классификации ЛДУ, если искомая функция u является функцией времени, то нужно задать значение этой функции при t = 0. Функцией u при описании колебаний струны обозначается сам процесс колебаний. Подробнее об этом говорилось в статье, посвящённой выводу волнового уравнения).

 

Второе начальное условие – это функция, описывающая распределение скорости струны (∂u/∂t) в начальный момент времени (t = 0).

 

Также заданы следующие граничные условия, обозначающие то, что струна закреплена на концах (при х = 0 и х = l):

 

 

Задача поставлена, нужно отыскать её решение. В нашем случае необходимо определить форму струны в каждый момент времени t и закон её движения в каждый момент времени.

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Что ж, применим метод Фурье. Первая часть метода заключается в том, чтобы найти частные решения уравнения струны, удовлетворяющие краевым условиям, вида:

 

 

Данное представление функции u примечательно тем, что части Х и Т зависят от разных переменных (отсюда название метода – «метод разделения переменных»). Данное разделение необходимо для того, чтобы после нескольких преобразований поместить часть, зависящую от х, и часть, зависящую от t, по разные стороны уравнения.

 

Для того, чтобы это сделать, вернёмся к нашему волновому уравнению и подставим вместо u форму выражения, к которой мы хотим прийти, а именно X(x)T(t):

 

 

В левой части уравнения нужно взять вторую производную по переменной t, в правой – по переменной х. Сделаем это, учитывая, что X(x) не зависит от t, а T(t) не зависит от х, а значит при дифференцировании по t и по х функции Х(х) и T(t) соответственно будут просто константами. В результате дифференцирования получим следующее равенство:

 

 

Осталось только перенести функции, зависящие от одной и той же переменной, на одну сторону:

 

 

Отлично. Мы пришли к виду с разделёнными переменными. Часть слева зависит только от t, часть справа – только от х. Из этого можно сделать вывод, что обе части не зависят ни от t, ни от x сами по себе и являются просто константами. А если так, то мы можем представить это равенство как:

 

 

Или:

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Как уже было сказано, наше решение X(x)T(t) должно удовлетворять краевым условиям. Подставим это решение в краевые условия и посмотрим, что получится:

 

 

Если предположить, что T(t) = 0, то есть функция равна нулю во все моменты времени, решение оказывается слишком тривиальным. Поэтому полагаем, что X(0) = X(l) = 0. Теперь для отыскания функции Х(х) нужно найти решение следующего уравнения при данных условиях:

 

 

Положим Х(х) = erx. Для решения данного уравнения составим для него характеристическое уравнение. Простыми словами, для составления характеристического уравнения порядок производной заменяется порядком степени, а искомая функция – произвольной буквой, например, r. Соответственно, для нашего уравнения характеристическое уравнение будет иметь вид r2 – Сr0 = r2 – С = 0.

 

Отсюда нужно найти значение С. С = r2. Возможны, очевидно, три варианта значения С:

 

1) С > 0;

2) C = 0;

3) C < 0.

 

Очевидно, что при С = 0 решение тривиально (слишком просто), т.к. r2 = 0, следовательно, r = 0. Можно доказать, что при С > 0 решение тоже тривиально, но ради упрощения мы не будем приводить доказательство. Просто поверьте мне на слово =)

 

В общем, будем работать с неравенством r2 < 0. Как известно, коэффициент в квадрате может быть меньше нуля только при задействовании комплексных чисел. Положим, √(r2) = r = ±iλ, где i – мнимая единица, λ – произвольное вещественное число.

 

Теперь подставим полученное r в Х(х) = erx:

 

 

Перейдём к другой форме математического представления комплексных чисел – от экспоненты к синусам и косинусам по формуле Эйлера (о комплексных числах почитать можно тут):

 

 

Причём константы С1 и С2 принадлежат множеству комплексных чисел.

 

Теперь вспомним о краевых условиях, заданных в начале, и подставим их в полученное уравнение. Сначала подставим вместо переменной х нуль, а потом – l.

 

 

Х(0) = С1cos(0) + C2sin(0) = C1 * 1 + C2 * 0 = C1 = 0

 

 

То есть первая константа равна нулю, С1 = 0. Уберём её и подставим в оставшуюся часть уравнения l вместо х:

 

 

X(l) = C2sinλl = 0

 

 

Если положить С2 = 0, то решение тривиально, поэтому sinλl = 0. Функция синуса обращается в нуль, если угол равен , где k принадлежит множеству целых чисел. То есть, λl = kπ, откуда λ = kπ/l.

 

Вернёмся к выражению для Х(х), не забывая, что С1 у нас получилась равной нулю:

 

 

Вместо λ подставим получившееся выражение kπ/l и запишем частное решение для Хk(x). Это просто одно из возможных решений, поэтому константу возьмём другую, чтобы она отличалась от «общей» константы С2:

 

 

Функции sin(kπx/l) – собственные функции, а λk = kπ/l – собственные числа дифференциального уравнения X''(x) – cX(x) = 0 с краевыми условиями X(0) = X(l) = 0.

 

Теперь вспомним, пожалуй, что у нас ещё есть функция T(t). Каждому собственному числу λk будет соответствовать своя функция T(t):

 

 

Общее решение этого дифференциального уравнения по аналогии с уравнением для Х(х) будет иметь вид:

 

 

Как и в предыдущем случае, В и D – константы, принадлежащие множеству комплексных чисел.

 

Наконец, запишем частное решение для нашей изначальной функции u(x, t). Мы задали её как u(x, t) = X(x)T(t), значит, подставив сюда частные решения для функций Х и Т, которые мы нашли, получим частное решение для функции u. Для функции Х наша константа была равна А, для функции ТВ и D. Перемножая А с В и А с D получим новые константы, которые обозначим ak и bk. Оговорив это, запишем частное решение для функции u(x, t):

 

 

Решения u(x, t) являются собственными функциями данной задачи, а соответствующие этим функциям колебания струны – это её собственные колебания.

 

Если Вы помните, первая часть метода Фурье заключалась в нахождении частных решений уравнения струны, удовлетворяющих краевым условиям, вида u(x, t) = X(x)T(t). Что ж, поздравляю, - мы их нашли =)

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Перейдём ко второй (и последней) части метода Фурье. У нас остались неиспользованными начальные условия, и их тоже надо применить. Вторая часть метода Фурье, таким образом, заключается в нахождении решения, удовлетворяющего начальным условиям. Причём решение это будет строиться на основе найденных нами собственных функций.

 

Напомню, какие нам были даны начальные условия:

 

 

Наша задача – найти коэффициенты ak и bk, чтобы эти условия выполнялись. Для этого возьмём наше длинное уравнение для uk(x, t) и (для удовлетворения первому начальному условию) подставим в него нуль вместо переменной t:

 

 

Синус нуля даст нуль, косинус нуля – единицу, итого:

 

 

Для задания второго начального условия нужно наше длинное уравнение для uk(x, t) продифференцировать по t, а затем подставить вместо t нуль. Не будем подробно расписывать процесс дифференцирования и сразу представим получившееся равенство:

 

 

Полученные два выражения для начальных условий показывают, что коэффициенты ak и bk(kπa/l) являются коэффициентами разложения функций f(x) и F(x) в ряд Фурье (отсюда появление суммы) по синусам (sin(kπx/l)) в интервале от нуля до l.

 

Для отыскания данных коэффициентов остаётся только применить формулы нахождения коэффициентов разложения Фурье. Мы этого расписывать не будем, потому что статья и так достаточно затянулась. Эти формулы я приведу ниже, с их помощью отыскиваются выражения для наших искомых коэффициентов:

 

 

Отыскав нужные коэффициенты через эти формулы, подставляем их в наше длинное выражение для искомой функции, суммируем это всё по k и окончательно находим решение поставленной задачи.

 

В следующих лекциях непременно разберём данный метод на примерах для лучшего понимания. А пока – спасибо за внимание!

Предмет: Математическая физика | | | Теги: высшая математика, волновое уравнение, математика, математическая физика, метод Фурье, дифференциальные уравнения
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close