Как решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?


В этой статье мне хотелось бы познакомить Вас с одним из методов решения СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). Я сам узнал о нём только на первом курсе института, на одном из первых занятий по линейной алгебре, но, как по мне, о нём стоило бы рассказывать в школах – настолько он лёгкий, доступный для понимания и универсальный. Он мне очень понравился, и я хочу поделиться им с Вами.

 

Начнём, пожалуй, с краткого описания того, с чем мы будем работать, - СЛАУ. Что такое уравнения, надеюсь, понятно =) Система уравнений – это набор уравнений, причём они должны выполняться одновременно. То есть, когда Вы находите решения для одного из уравнений, эти решения должны также удовлетворять и остальным уравнениям системы.

 

Линейными называют уравнения, у которых максимальная степень членов равна 1. То есть никаких х2 и тому подобного.

 

И, наконец, алгебраические уравнения. Если кратко, то алгебраические уравнения могут содержать степени, дроби и корни и не содержат показательные, тригонометрические и логарифмические функции. Уравнения, содержащие эти функции, называются неалгебраическими или трансцендентными.

 

Объединив всю эту информацию, получаем представление о том, что такое СЛАУ.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Существует множество способов решения СЛАУ, но мы, как очевидно из названия, остановимся на одном конкретном – методе Гаусса. По сути, мы задействуем в нашем решении такое понятие, как «матрица», но незнание точного определения (да и определения вообще, чего уж там) не помешает понять данный метод и применять его на практике. Если интересно, о матрицах я писал здесь.

 

Метод будем разбирать сразу на примере, чтоб было проще.

 

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида:

 

 

Превратим её в матрицу: нам нужны только коэффициенты перед неизвестными (с сохранением знака!) и константы в правой части уравнения (8 и 10). То есть оставляем только числа и знаки перед ними. В итоге получаем вот такую штуку:

 

 

Чертой отделены левая и правая части уравнения. Теперь будем работать только с получившейся матрицей – про изначальные уравнения можно пока забыть. Нам нужно преобразовать часть, выделенную зелёненьким, к так называемому «ступенчатому виду», чтобы по диагонали были только единички, а под ними – только нули, вот так:

 

 

Остальные полученные числа могут принимать любые значения. Для лучшего понимания покажу, как это бы выглядело в матрице 3х3:

 

 

Что ж, давайте преобразуем нашу матрицу так, чтобы прийти к ступенчатому виду. Для этого мы будем работать с её строками. Каждую отдельную строку можно домножить на число, а также прибавить к любой другой строке. И путём последовательных преобразований надо прийти к желанным нулям и единичкам.

Шаг 1: разделим первую строку нашей матрицы на 2 и сразу же получим первую нужную нам единичку:

 

 

Теперь надо избавиться от четвёрки под единичкой. Для этого (шаг 2) помножим первую строку на 4 и вычтем из второй строки:

 

 

В итоге получаем наш первый нуль, и первый столбец готов:

 

 

Со второй строкой всё проще: нужно вместо -1 получить просто 1. Шаг 3: домножим вторую строку на -1:

 

 

Вот и всё. Мы привели матрицу к ступенчатому виду. Теперь давайте переведём её обратно в систему уравнений по тому же принципу, как мы вначале переводили эту самую систему в матрицу: числа слева от черты – коэффициенты перед иксами, справа от черты – константы после «равно».

 

 

Когда один из иксов известен, второй найти не составит труда. Ответ: х1 = - 5, х2 = 6.

 

Готово =)

 

Очевидно, что СЛАУ, которую я выбрал для примера, легче решать без всяких преобразований в матрицу, но если уравнений и переменных больше 2, то так, как мне кажется, намного легче не запутаться, да и способ сам по себе очень красивый.

 

Важное замечание: в общем случае для решения системы уравнений нужно столько уравнений, сколько в системе неизвестных.

 

Спасибо за внимание!

Предмет: Основы высшей математики | | | Теги: линейная алгебра, матрицы, математика, высшая математика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close