Как найти обобщённую производную, используя формулу?


В одной из предыдущих статей настоящего цикла мы вывели формулу обобщённой производной или производной от обобщённой функции. Ещё одну статью я посвятил подробному разбору нахождения производных от функции sign(x) и функции Хевисайда. Производные от этих функций я брал «в лоб», то есть точно по схеме – через интегралы, основные функции и т.п. Напомню, что у нас получилось, так как нам это пригодится:

 

 

Здесь η(х) – функция Хевисайда, sign(x) – функция сигнум, δ(х) – дельта-функция Дирака.
Но мы не зря выводили формулу обобщённой функции: в данной статье покажем, как её использовать. Выведенную нами формулу тоже стоит напомнить:

 

 

Здесь f ' – обобщённая производная, {f ' } – классическая производная от f, [ f ] – скачок функции f в точке x = x0.

 

Что ж, можем приступать =)

 

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Пример 1

 

Найти обобщённую производную 1-го порядка от функции хη(х),

 

где η(х) – функция Хевисайда.

 

Сразу изобразим график этой функции, чтобы определить, есть ли разрывы, и сколько составляет скачок функции (если он есть) в точке разрыва.

 

 

Как видно из графика, функция не имеет разрывов, а значит в формуле для обобщённой производной отсутствует скачок [ f ]. Следовательно, слагаемое со скачком пропадает и остаётся просто f ' = {f ' }.

 

Для нахождения обобщённой производной, таким образом, нужно просто взять классическую производную от функции хη(х). Важно заметить, что при взятии классической производной функция Хевисайда должна рассматриваться как обычная, а не обобщённая функция. Разница состоит в том, что обобщённая производная от функции Хевисайда, как мы знаем, равна δ-функции Дирака, а классическая производная – это просто производная от константы (функция Хевисайда равна 0 при x < 0 и 1 при x ≥ 0).

 

Приняв во внимание вышесказанное, найдём классическую производную от функции хη(х):

 

 

Таким образом, обобщённая производная от функции хη(х) равна η(х).

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Пример 2

 

Найти обобщённую производную 1-го порядка от функции еη(х).

 

График данной функции будет иметь вид:

 

 

Как видно из графика, здесь уже имеется разрыв первого рода в точке x = x0 = 0. Скачок функции в этой точке вычисляется как значение «справа» в этой точке (в данном случае 1) минус значение «слева» (в данном случае 0). То есть, скачок η(х)]x=0 = 1 – 0 = 1. Тогда обобщённая производная от этой функции будет иметь вид:

 

 

Осталось только найти классическую производную (напомню, что классическая производная от функции Хевисайда равна 0):

 

 

Таким образом, обобщённая производная функции еη(х) равна (-еη(х) + δ(х)).

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Как можно видеть, взятие производных от обобщённых функций не составляет труда, если знать, чему равны обобщённые производные от некоторых часто используемых обобщённых функций, таких как функция Хевисайда. В остальном же для получения ответа достаточно уметь находить классические производные и строить графики. Спасибо за внимание!

Предмет: Обобщённые функции | | | Теги: обобщённые производные, высшая математика, математика, обобщённые функции
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close