Что такое обобщённые функции и зачем они нужны?


Обобщённые функции, как видно из названия, являются обобщением понятия обычных функций, знакомого нам ещё со школы.

 

Зачем понадобилось обобщение? – для математически корректного описания таких идеализированных моделей, как плотность материальной точки, плотность точечного заряда и т.п.

 

Примером обобщённой функции является известная δ-функция Дирака, имеющая вид:

 

 

Если не использовать понятие обобщённой функции, то уже на этом этапе возникает противоречие: функция Дирака не равна 0 только в одной точке, а определённый интеграл в точке равен нулю по определению.

 

Поясню: если интеграл – площадь под графиком, то ненулевая площадь получится только при нахождении площади на определённом интервале, например, от 0 до (0+Δх). В ТОЧКЕ площадь под графиком равна нулю.

 

Хорошо, разобрались. Как разрешается это противоречие? – введением понятия обобщённой функции.

 

Обобщённая функция – всякий линейный непрерывный функционал, определённый на пространстве основных функций.

 

Не убегайте =) Давайте разберём это определение по частям.

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Начнём с определения функционала. Говоря простыми словами, функционал – это правило, по которому ФУНКЦИИ ставится в соответствие ЧИСЛО. В разной литературе функционал задаётся по-разному, но мы будем использовать обозначение f или f(x), и пусть подобная запись не собьёт Вас с толку: функционал – это не функция!

 

По определению функционал действует на какую-то функцию, – назовём её t, – и на выходе получается число. Воздействие функционала на функцию обозначается как (f, t), причём (f, t) = c, где с – просто число.

 

Ничего не напоминает? Определённый интеграл, например?.. При подстановке функции в определённый интеграл на выходе тоже получается число. И действительно, воздействие функционала на функцию представимо в виде определённого интеграла:

 

 

Множество значений функционала – область действительных чисел.

 

Область определения – множество функций.

 

Не менее важным понятием при изучении обобщённых функций является понятие основной функции. Основная функция – это бесконечно дифференцируемая функция, отличная от нуля только на КОНЕЧНОМ промежутке. Чем удобно использование основных функций? – тем, что они обращаются в нуль на бесконечности, а потому с ними легче находить определённый интеграл. Основные функции обычно обозначаются как φ.

 

В качестве примера применим к основной функции φ обобщённую δ-функцию Дирака:

 

 

φ(0) – это просто число, значение функции φ в точке 0. Именно такое число получается при воздействии δ-функции – это её определение. В последующих статьях мы рассмотрим воздействие δ-функции более подробно.

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Перед тем, как закончить эту вводную статью, хотелось бы обратить внимание на некоторые пункты, которые пригодятся нам для дальнейшей работы с обобщёнными функциями.

 

 

1. Равенство функционалов

 

Функционалы f и g равны, если их воздействие на одну и ту же основную функцию одинаково:

 

 

 

2. Умножение на бесконечно дифференцируемую функцию

 

Пусть f – функционал, h – бесконечно дифференцируемая функция, φ – основная функция, тогда:

 

 

 

3. Эквивалентность ядер интеграла

 

Если ядра интеграла (в данном случае – обобщённые функции) отличаются на конечное количество точек, то их воздействие на основную функцию будет эквивалентным.

 

Рассмотрим, например, функции η1(х) и η2(х), заданные следующим образом:

 

 

Они отличаются только в одной точке: первая функция в точке х = 0 принимает значение 1, а вторая – значение 0. Будет ли их воздействие на φ эквивалентным? – да, ведь интеграл «не чувствует» значение в одной точке, как уже оговаривалось выше. Площадь под точкой равна нулю, а потому:

 

 

И через запись функционалов:

 

 

Спасибо за внимание!

Предмет: Обобщённые функции | | | Теги: обобщённые функции, функция Дирака, высшая математика, математическая физика, математика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close