Как взять производную от функции с разрывом первого рода?


В настоящей статье разберём, как брать производные от обобщённых функций. Это уже третья статья из цикла об обобщённых функциях, предыдущие можно отыскать здесь.

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Что есть производная обобщённой функции? Как и в других случаях, для нахождения чего-либо, связанного с обобщёнными функциями, к ней нужно «приставить» основную функцию.

 

Как обычно обозначим обобщённую функцию f, а основную – φ. Производная f ' = (f ', φ). По определению обобщённой функции данная запись представима в виде определённого интеграла вида:

 

 

Возьмём этот интеграл по частям (∫udv = uv – ∫vdu).

 

 

Пусть u = φ(x);          dv = f '(x)dx, тогда

 

du = φ'(x)dx        v = ∫ f '(x)dx = f(x).

 

 

Подставляя в формулу интегрирования по частям, получим:

 

 

Теперь вспомним важное свойство основной функции: она не равна нулю только на конечном промежутке, т.е. на бесконечности обращается в нуль: φ(±∞) = 0. Таким образом, часть uv (часть без интеграла) равна нулю. А часть, стоящую под интегралом, можно свернуть обратно в компактную запись:

 

 

И итоговое выражение для производной обобщённой функции будет иметь вид:

 

 

Отлично. Попробуем применить наши знания в отношении каких-нибудь конкретных обобщённых функций. Например, чему равна производная δ-функции Дирака?

Процедура аналогична нахождению производной обобщённой функции в общем случае, поэтому подробно расписывать не буду, а просто порадую Ваш глаз прекрасными математическими формулами без лишних слов =)

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Как уже упоминалось в одной из предыдущих статей, обобщённые функции позволяют не только работать с идеализированными точечными моделями, но и преодолевать проблемы, связанные с разрывными функциями.

 

Рассмотрим произвольную функцию f(x), имеющую разрыв первого рода. В точке разрыва первого рода у функции существуют и левый, и правый конечные пределы, но они не равны или сама функция в данной точке не определена.

 

 

На данном рисунке точка х0 является точкой разрыва первого рода. Скачок функции – это значение функции СПРАВА от точки разрыва минус значение функции СЛЕВА от этой точки (на рисунке скачок = В – А).

 

Найти обычную производную от такой функции не получится, поэтому рассмотрим f(x) в качестве обобщённой функции. Начало такое же, как и всегда при работе с функционалами:

 

 

Просто взять интеграл мешает точка разрыва, поэтому нам нужно от неё избавиться. Для этого разобьём интеграл на две части: слева от точки разрыва и справа от неё. Так как установить пределом интегрирования саму точку х0 мы не можем, возьмём вместо неё точки, бесконечно близкие к х0. Бесконечно близкой к х0 слева будет точка 0 – ε), а справа – 0 + ε), причём ε → 0. Учитывая всё вышесказанное, получим:

 

 

А теперь снова применим интегрирование по частям. Теперь уже u = f(x), dv = φ'(x)dx, следовательно, du = {f '}dx, а v = φ(x). {f '} – обозначение классической производной, знакомой нам ещё со школы. Введём это обозначение, чтобы не путать её с производной от обобщённой функции.

 

Применив интегрирование по частям, получим (не забываем про знак «минус» и предел!):

 

 

Спокойно, сейчас упросим =) Для начала объединим наш разбитый интеграл в один, от –∞ до +∞. А теперь разберёмся с частями без интегралов. Сразу применим предел, устремляя ε к нулю, и подставим пределы интегрирования в функции по формуле Ньютона-Лейбница. Поставляя 0 ± ε) в f(x) заменим ε на 0, чтобы и предел применить, и не потерять, с какой стороны мы подходим. А вот в φ(х) вместо 0 ± ε) подставим просто х0, ведь у функции φ нет разрыва в точке х0 (напомню, что это основная функция, то есть, по определению – бесконечно дифференцируемая). При подстановке бесконечностей φ, очевидно, даст 0, опять же по определению основной функции.

 

Распишем, что получилось из двух частей без интегралов подробнее (обратите внимание на знаки!):

 

 

Давайте посмотрим, что у нас получилось на данный момент, тщательно проверив знаки:

 

 

f(x0 + 0) – f(x0 – 0) – это ни что иное, как скачок функции f в точке разрыва х = x0. Введём для скачка функции обозначение [ f ]x=x0. И, наконец, вспомним, что φ(х0) можно представить в виде функционала с применением функции Дирака δ(х – х0), а интеграл слева – одна из форм записи функционала ({f '}, φ(x)). Приняв всё это во внимание, имеем:

 

 

Запихиваем скачок в функционал и объединяем это всё в одни большие скобочки:

 

 

Напомню, с чего мы начали: f ' = (f '(x), φ(x)). Обратите внимание на правую часть данного функционала и сравните её с правой частью функционала, полученного нами путём долгих и кропотливых преобразований. Как можно видеть, правые части равны, а значит, - по определению равенства функционалов, - левые части тоже равны.

 

Наконец, мы можем записать важнейшую формулу производной от обобщённой функции:

 

 

Мои поздравления, если Вы дочитали до этого знаменательного момента =) В следующей статье непременно отработаем эту формулу на конкретных примерах. Спасибо за внимание!

Предмет: Обобщённые функции | | | Теги: обобщённые производные, математика, функция Дирака, высшая математика, математическая физика, обобщённые функции
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close