Какие дифференциальные уравнения чаще всего используются в задачах математической физики?


Настоящий цикл статей об уравнениях математической физики рекомендуется к прочтению людям, знакомым с началами анализа, а именно, дифференцированием, интегрированием и основами теории дифференциальных уравнений.

 

Для математического моделирования физических явлений чаще всего используются именно линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) в частных производных второго порядка. В общем виде ЛДУ в частных производных второго порядка имеют вид:

 

 

Порядок дифференциального уравнения определяется высшим порядком частной производной. В данном случае высший порядок частной производной, очевидно, второй. Если f(x, y) = 0, то уравнение называется однородным.

 

Для определения конкретного типа ЛДУ в частных производных 2-го порядка необходимо найти дискриминант этого уравнения по формуле:

 

 

Если в некоторой области плоскости хОу:

 

  • D > 0, то это уравнение относится к гиперболическому типу;
  • D = 0, то это уравнение относится к параболическому типу;
  • D < 0, то это уравнение относится к эллиптическому типу в данной области.

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Рассмотрим три основных уравнения математической физики, относящиеся к разными типам ЛДУ:

 

 

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

 

 

Это уравнение гиперболического типа.

 

 

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

 

 

Это уравнение параболического типа.

 

 

УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА

 

 

Это уравнение эллиптического типа.

 

Любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для однозначного описания физического процесса вводятся начальные и граничные условия.

 

Если искомая функция – функция времени u = f(t), то нужно задать значение этой функции в начальный момент времени t: u0 = u(t=0).

 

Если искомая функция также является функцией пространственных координат u = f(t, x), то начальные условия характеризуют её распределение в пространстве в момент времени t = 0: ξ(x) = u(t=0, x). В данном случае требуются также граничные условия, характеризующие значение функции на границе изучаемой системы с внешней средой в каждый момент времени t.

 

Количество граничных условий по каждой пространственной координате определяется порядком старшей производной функции по этой координате в дифференциальном уравнении.

 

Если задача математической физики поставлена корректно, то её решение существует и единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных.

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

В следующих статьях выведем волновое уравнение и уравнение теплопроводности и разберём методы решения задач математической физики с краевыми и начальными условиями. Спасибо за внимание! 

Предмет: Математическая физика | | | Теги: высшая математика, дифференциальные уравнения, математика, математическая физика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close