Как поставить задачу математической физики? Откуда взять начальные и граничные условия?


На предыдущих лекциях мы обсуждали, что такое корректно поставленная задача математической физики, и вывели волновое уравнение, часто используемое при решении этих задач. Мы также рассмотрели один из самых известных методов решения задач матфизики – метод Фурье. Но перед тем как решать задачу, её нужно поставить.

 

Постановка задачи математической физики, можно сказать, является «задачей в задаче», потому что не всегда очевидно, как задать условия, чтобы потом прийти к решению. На данной лекции мы не будем решать задачи, – мы попробуем верно их поставить.

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Для начала зададим некоторый «план» постановки задачи, а потом уже перейдём к конкретным примерам. Начнём с главного – с задания дифференциального уравнения. Наиболее часто в задачах математической физики встречаются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Об их классификации и основных типах я рассказывал на одной из предыдущих лекций.

 

Выбор дифференциального уравнения зависит от самого условия задачи. Например, для часто встречающихся задач о колебаниях струны существует уже разобранное нами волновое уравнение. Для задач на нагревание стержня – уравнение теплопроводности и т.п.

 

Подробный разбор разных типов уравнений оставим на следующий раз, а здесь для простоты будем рассматривать только задачи на волновое уравнение. Выведенное нами в общем виде (без учёта внешних сил), волновое уравнение записывается так:

 

 

Подстрочные символы – это производные. Одна буковка – первая производная, две – соответственно, вторая. t – это производная по времени, x – производная по координате.

 

Таким образом, слева у нас вторая производная по времени, а справа – вторая производная по координате. U(x,t) – функция, описывающая процесс колебаний. Если более конкретно: функция U задаёт величину перемещения точек струны с абсциссой х в момент t.

 

Отлично, мы задали дифференциальное уравнение в общем виде. Следующий подпункт – указать значение коэффициента а2. Без уточнения этого пункта, вообще говоря, непонятно, о чём идёт речь в задаче. Углубляться в подробное исследование не будет, напомним только, что для колебаний струны данный коэффициент имеет вид

 

 

Видим такой коэффициент и понимаем: ага, рассматриваем колебания струны.

 

Второй не менее важный подпункт – задание области определения дифференциального уравнения. Наша функция U зависит от х и от t, и их области определения надо задать.

 

Координата х изменяется по длине струны. Начало струны обычно находится в точке х = 0. Длина струны обозначается как l. Следовательно, конец струны – в точке х = l. Сама струна, соответственно, лежит на оси Ох. Исходя из всего вышесказанного, х лежит в интервале от 0 до l:

 

 

С t проще. t отсчитывается от нулевого момента времени, t = 0, конец обычно не задаётся, если только это специально не указано в задаче.

 

 

Итак, дифференциальное уравнение полностью задано: общий вид, коэффициент и область определения. Перейдём ко второму (и последнему) важному пункту постановки задачи математической физики: дополнительные условия.

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Зачем нужны дополнительные условия? Чтобы от уравнения в общем виде перейти к частному решению. Сколько должно быть дополнительных условий? Количество дополнительных условий должно быть равно сумме максимальных порядков производных по всем переменным. В данном случае у нас две переменные: х и t. Максимальный порядок производной и по х, и по t, как мы уже выяснили, равен 2. Таким образом, нам нужно 2 + 2 = 4 дополнительных условия.

 

Существует несколько видов дополнительных условий: а) начальные; б) граничные; в) все прочие. К «прочим», очевидно, относятся такие условия, которые не подходят под первые две категории. Их мы для облегчения повествования рассматривать не будем.

 

Для производной второго порядка по t нужно два начальных условия. Начальные условия подразумевают задание функции в момент времени t = 0. Под функцией не обязательно понимается сама функция U. Это может быть, например, её первая производная по времени (то есть скорость). Заданные начальные условия должны быть справедливы для всех х.

 

Для производной второго порядка по х нужно два граничных условия. Эти условия называются граничными, потому что задаются на границах исследуемого объекта (в нашем случае – струны), в начале и в конце. Если говорить математически, – при х = 0 и при х = l. Заданные граничные условия должны быть справедливы для каждого момента времени t. Вместо функции U, как и в случае начальных условий, может фигурировать её первая производная, но теперь уже по координате.

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Подытожим наш общий план постановки задачи математической физики перед тем, как перейти непосредственно к примерам:

 

Дифференциальное уравнение в общем виде

 

а) значение коэффициента а2

б) область определения дифференциального уравнения

 

Дополнительные условия

 

а) начальные условия

б) граничные условия

в) все прочие условия

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Задача 1

 

Пусть дана струна длины l, в начальный момент времени имеющая распределение φ(х) и скорость ψ(х). Левый конец струны жёстко закреплён в точке х = 0, правый конец струны свободен: на нём есть безмассовое кольцо, нанизанное на столб, по которому оно произвольно движется без трения (проще говоря, справа струна просто болтается, но не падает =)). Поставить задачу.

 

 

Идём по нашему плану. Дифференциальное уравнение для задач про колебания струны, как мы знаем, это волновое уравнение, коэффициент а2 для таких случаев нам тоже известен. Область определения дифференциального уравнения стандартная: х принадлежит от 0 до l (длина струны), время t больше нуля. Таким образом, без дополнительных условий имеем:

 

 

Теперь посложнее. Дополнительные условия будем задавать по мере лёгкости их отыскания, независимо от того, начальные они или граничные. В данной задаче начальные условия очевидны, потому что прописаны прямым текстом: «в начальный момент времени имеющая распределение φ(х) и скорость ψ(х)». Математически это будет выглядеть так:

 

 

Причём φ и ψизвестные функции. Первое уравнение означает, что в момент времени t = 0 струна имеет форму φ(х). Второе уравнение означает, что скорость (первая производная по t) движения струны в момент времени t = 0 распределена в виде функции ψ(х).

 

Теперь осталось задать только два граничных условия. Первое тоже лежит на поверхности и явно определено в самом условии задачи: «Левый конец струны жёстко закреплён в точке х = 0». Это означает, что при любом t, то есть в любой момент времени, в точке х = 0 функция U равна нулю. Конец закреплён, он не двигается, не отклоняется от оси, на которой лежит струна. Значит и функция отклонения U, очевидно, будет равна нулю.

 

 

Это, кстати, граничное условие первого рода – точно известно, чему равна функция U (нулю). Второе граничное условие уже не так очевидно. Для того чтоб его отыскать, воспользуемся приёмом, которым мы пользовались на лекции, посвящённой выводу волнового уравнения. Называется этот приём «второй закон Ньютона» =)

 

Приравняем силу F = ma самой струны к внешним силам, воздействующим на неё. Причём будем рассматривать только небольшой отрезок этой струны. Из условия задачи у нас осталась незадействованной информация о правом конце струны, поэтому будем рассматривать кусочек струны от l – ∆x до l, где ∆х – длина рассматриваемого нами участка.

 

Масса m этого кусочка равна произведению плотности струны ρ (считаем её известной) на длину ∆х, ускорение равно (по определению) второй производной по времени от функции U. Таким образом, левая часть уравнения, обозначающая собственную силу F участка струны, будет иметь вид:

 

 

Внешние силы для струны в общем виде равны сумме сил натяжения струны справа, сил натяжения струны слева (со знаком «минус», потому что сила направлена в другую сторону) и равнодействующей внешних сил на ∆х:

 

 

Приравняем внутренние и внешние силы и получим важное уравнение, которое не раз пригодится нам в дальнейшем:

 

 

Рассмотрим это уравнение подробнее: справа сил натяжения уже нет, потому что дальше точки l просто нет струны. Поэтому TUx(справа) у нас нет. Внешних сил F тоже нет, т.к. иначе они были бы обозначены в условии задачи. Итого в нашем случае уравнение сводится к следующему виду:

 

 

А теперь совершим предельный переход. Устремим наш отрезочек ∆х к нулю, ∆x → 0. Левая часть сразу обращается в нуль, т.к. там ∆х присутствует в явном виде. Ux в правой части уравнения зависит у нас от (l – ∆x, t). Вместо (l – ∆х) получается просто l, и в итоге мы имеем следующее уравнение:

 

 

Таким образом, наше второе граничное условие имеет вид:

 

 

Это граничное условие второго рода, т.к. тут задана не функция U, а её производная.

 

Ну что ж, мы поставили задачу. Посмотрим на итоговые результаты нашего титанического труда и перейдём к следующему примеру =)

 

 

-------------- ⊰ ⊗ ⊱ --------------

 

 

Задача 2

 

Левый конец струны движется по закону μ(t). Начальное положение струны – ломаная линия (изображено на рисунке): максимальное отклонение струны находилось в точке х0, и это отклонение равнялось U0. Струна в начальный момент времени t покоилась. На правый конец струны действует сила F.  Поставить задачу.

 

 

Опять имеем дело со струной, так что часть, относящаяся к заданию дифференциального уравнения, остаётся нетронутой:

 

 

Попробуем сразу выудить из задачи какие-нибудь очевидные начальные и граничные условия. «Левый конец струны движется по закону μ(t)» – это значит, что в каждый момент времени t функция U в точке x = 0 будет равна функции μ в момент времени t. Математически это выражается так:

 

 

Первое граничное условие задано. Продолжим. «Струна в начальный момент времени t покоилась» – то есть скорость струны в момент времени t = 0 тоже была равна нулю. Заметьте, именно скорость – отклонение U струны от оси Ох не равнялось нулю в начальный момент времени. Мы добыли первое начальное условие:

 

 

Зададим положение струны (то есть функцию U) в начальный момент времени. Наше второе начальное условие будет представлять собой следующую систему:

 

 

Правильность составления системы легко проверить: при х = х0 должно получиться U = U0. При х = 0 или х = l должен получаться нуль. Так оно и есть, система составлена правильно. Второе начальное условие задано. Это условие, очевидно, заключалось в данном утверждении из задачи: «В начальный момент времени максимальное отклонение струны находилось в точке х0, и это отклонение равнялось U0».

 

Осталось только поставить второе граничное условие. Как и в первой задаче, с этим условием нам поможет второй закон Ньютона. Вернёмся к полученной нами формуле:

 

 

Неиспользованной у нас осталась информация о правом конце струны: «На правый конец струны действует сила F». Значит, как и в прошлый раз, сила натяжения справа отсутствует (по той же причине), но здесь уже внешние силы F не равны нулю. Поэтому после предельного перехода ∆х → 0 у нас остаётся:

 

 

Второе граничное условие найдено, задача поставлена:

 

 

Уже получилось довольно много, поэтому другие примеры рассмотрим как-нибудь в другой раз. А пока – спасибо за внимание!

Предмет: Математическая физика | | | Теги: дифференциальные уравнения, математика, постановка задач, математическая физика, волновое уравнение, высшая математика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close