Что такое матрицы и что с ними можно делать? Как задать вектор в матричной форме?


С чем у Вас ассоциируется слово «матрица»?

 

Если с прямоугольной таблицей, состоящей из строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы, - то да, правильно, это она и есть =) Пример матрицы в общем виде представлен на рисунке:

 

 

Элементы матрицы – обыкновенные числа (могут быть комплексными). Каждому элементу в матрице соответствует определённое место, например, «элемент четвёртой строки второго столбца». Номер строки и столбца однозначно задают элемент матрицы.

 

Общее количество столбцов и строк в матрице определяет её размер. Важно помнить, что при указании размера матриц сначала называется количество строк, а потом – столбцов. Например, матрица на рисунке выше – матрица m x n, содержащая m строк и n столбцов.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Хорошо, разобрались. Что можно делать с матрицами?

 

 

1. Матрицы можно складывать друг с другом.

 

Причём, матрицы должны быть ОДНОГО РАЗМЕРА. Вы можете сложить матрицу 3х4 ТОЛЬКО с матрицей 3х4. Даже 4х3 уже не прокатит – потому так важно указывать размер матрицы в правильном порядке: сначала строки, потом столбцы.

 

Для сложения матриц нужно попарно сложить элементы из двух матриц, находящиеся на одном и том же месте. То есть, элемент первой строки первого столбца матрицы А складывается с элементом первой строки первого столбца матрицы В и т.д.

 

 

Очевидно, что в результате такого сложения получится матрица такого же размера, что и складываемые матрицы. Если складывались две матрицы 3х4, то и результатом будет матрица 3х4.

 

 

2. Матрицы можно перемножать.

 

Причём, матрицу, имеющую n столбцов можно перемножить ТОЛЬКО с матрицей, имеющей n строк. То есть, Вы можете, например, перемножить матрицу 1х9 с матрицей 9х5. Легко запомнить, если представить, что совпадающие числа в центре «взаимно уничтожаются», и в результате такого умножения получается матрица размером 1х5.

 

В общем случае:

 

Aij * Bjk = Cik

 

Сам процесс умножения матриц довольно непривычен. Каждый отдельный элемент итоговой матрицы С получается следующим способом: если это элемент строки i столбца k, то все элементы строки i матрицы А попарно (!) перемножаются с элементами столбца k матрицы В, причём по очереди и не повторяясь. Потом всё это складывается, и получается один из искомых итоговых элементов.

 

То есть в матрице А Вы двигаетесь по строке i, а в матрице В – по столбцу k, не останавливаясь и не возвращаясь назад: первый элемент строки умножается на первый элемент столбца + второй элемент строки на второй элемент столбца + … + последний элемент всё той же строки на последний элемент того же столбца. Просуммировав все эти пары, мы получаем только ОДНО ЧИСЛО, соответствующее элементу строки i столбца k новой матрицы С. И так для каждого элемента.

 

 

Легко запомнить: если итоговый элемент находится, скажем, в 1 строке 2 столбца, то перемножаться (а затем складываться) будут элементы 1 строки (матрицы А) и 2 столбца (матрицы В).

 

Важно отметить, что в общем случае порядок матриц при умножении ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЕ, и АВ ≠ ВА. Говоря умными словами, умножение матриц некоммутативно:

 

 

Если АВ = ВА, то матрицы называют коммутирующими. Некоммутативность умножения матриц играет важнейшую роль в квантовой физике, в частности, на ней основывается принцип неопределённости Гейзенберга.

 

 

3. Наконец, матрицу можно умножить на скаляр (просто на число).

 

Для этого каждый элемент матрицы просто умножается на это число.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Важным понятием в теории матриц является транспонирование.

 

При транспонировании строки и столбцы матрицы меняются местами друг с другом: первая строка становится первым столбцом, а первый столбец – первой строкой и т.д. Соответственно, размер матрицы меняется, например, с 2х5 на 5х2:

 

 

Транспонирование обозначается надстрочной буквой Т, как показано на рисунке.

 

Также стоит упомянуть о комплексно-сопряжённых матрицах.

 

Если элементы матрицы В – комплексные числа, то элементы комплексно-сопряжённой матрицы В* – числа, комплексно-сопряжённые элементам матрицы В. О комплексных числах можно почитать тут.

 

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Всё, что до этого было сказано о матрицах, применимо и к векторам, ведь векторы представимы в виде матриц. Существует две разновидности таких векторов: вектор-строка и вектор-столбец. Как Вы уже могли догадаться, вектор-строка – это матрица размера 1xN, а вектор-столбец – размера Nx1.

 

 

Количество строк вектора-столбца и количество столбцов вектора-строки характеризуют число измерений, в которых находится вектор. Например, данный вектор может быть задан на знакомой со школы координатной плоскости (находится в двух измерениях):

 

 

Элементы αкомпоненты вектора |А〉 (подобная запись векторов-столбцов активно используется в квантовой физике).

 

Компоненты – проекции вектора на оси координат.

 

Если вектор стартует из начала координат (из точки (0; 0)), то он называется «радиус-вектором».

 

 

На данном рисунке векторы OP, OQ и OR являются компонентами вектора А по осям x, y и z соответственно.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Уже получилось довольно много, поэтому про ортонормированные базисы и эрмитово сопряжение, наверное, в другой раз =) Спасибо за внимание!

Предмет: Основы высшей математики | | | Теги: матрицы, математика, векторы, высшая математика, линейная алгебра
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close