Что такое ортонормированный базис, зачем он нужен и как задать в нём вектор?


На одной из предыдущих лекций из цикла "Основы высшей математики" мы рассмотрели представление векторов в виде матриц-строк и матриц-столбцов и обсудили понятие компонент вектора.

 

Напомню, что компоненты вектора – это проекции вектора на оси координат.

 

 

На данном рисунке векторы OP, OQ и OR являются компонентами вектора ОА по осям x, y и z соответственно.

 

Векторы OP, OQ и OR перпендикулярны (по-умному – ортогональны) друг другу и образуют так называемый «базис» в трёхмерном пространстве.

 

Базис – это такой набор векторов, с помощью линейной комбинации которых может быть однозначно задан любой другой вектор данного пространства.

 

Давайте разбираться. Линейная комбинация подразумевает умножение каждого вектора на коэффициент (число) и последующее сложение полученных векторов. На нашем рисунке, например, вектор ОА можно представить в виде следующей линейной комбинации базисных векторов OP, OQ и OR:

 

 

1*ОР + 1*OQ + 1*OR = OA

 

 

Коэффициенты при всех базисных векторах равны 1, т.к. для задания вектора ОА их длину изменять, очевидно, не надо.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Базис можно выбрать по-разному. Базисные векторы не обязательно ортогональны, так просто удобнее выражать другие векторы через них. В данном случае нам удобно выразить наш вектор ОА через векторы OP, OQ и OR, потому что их длины являются проекциями вектора ОА на оси. Но если мы возьмём любой другой вектор, то задавать его через те же OP, OQ и OR будет уже не так удобно, ведь придётся корректировать их длину с помощью умножения на коэффициенты.

 

Наиболее удобным для работы в большинстве случаев является ортонормированный базис.

 

Ортонормированный базис – это базис, векторы которого взаимно ортогональны (перпендикулярны), а их длины нормированы (равны единице).

 

Возвращаясь к нашему примеру, для того, чтобы из нашего базиса OP, OQ, OR получить ортонормированный базис, нужно всего лишь разделить каждый из этих векторов на их длину: направление, в котором они указывали, останется прежним, а длина окажется равной единице.

 

Векторы ортонормированного базиса обычно обозначаются буквами i, j и k. Наш новый базис будет выглядеть следующим образом:

 

 

| i | = | j | = | k | = 1

 

i ⊥ j ⊥ k

 

 

Как теперь задать вектор ОА с помощью линейной комбинации наших новых базисных векторов i, j, k?

 

Пусть длина вектора ОР = х, длина вектора OQ = y и длина вектора OR = z. Тогда вектор ОА будет задаваться следующей линейной комбинацией в нашем ортонормированном базисе:

 

 

ОА = x*i + y*j + z*k, где

 

 

i, j, k – векторы (имеют направление),

 

x, y, z – просто числа.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Очевидно, с помощью заданного нами ортонормированного базиса векторов i, j, k можно задать любой вектор в трёхмерном пространстве.

 

На плоскости (в двумерном пространстве) всё становится ещё проще:

 

 

Если проекция вектора ОА на ось абсцисс (Ох) равна х, а проекция на ось ординат (Оу) равна у, то через ортонормированный базис i, j вектор ОА будет однозначно задаваться следующим образом:

 

 

ОА = x*i + y*j

 

 

Думаю, Вы уже заметили, что количество векторов, необходимых для задания базиса, равно размерности пространства. Для четырёхмерного пространства потребуется уже четыре базисных вектора, для пятимерного – пять, а для бесконечномерного – бесконечное количество базисных векторов.

 

 

-------------- ⊰ ∮ ⊱ --------------

 

 

Для закрепления материала потренируемся на примерах =)

 

Рассмотрите векторы, заданные на плоскости, и выразите их через ортонормированный базис векторов i, j:

 

 

Векторы а и b давайте разберём вместе.

 

Рассмотрим вектор а (синий). Мысленно переместим его так, чтобы его начало совпадало с началом координат, т.е. с точкой (0, 0), из которой исходят векторы i и j. И далее считаем по клеточкам. Проекция вектора а на ось х = 3 клеточки, на ось у – тоже 3 клеточки, НО (!) вектор а направлен в сторону, противоположную вектору j, значит коэффициент при j берём со знаком «минус». Выходит:

 

 

а = 3i – 3j

 

 

С вектором b (зелёный) операция аналогична: проекция b на ось х = 0, на ось у – минус 5, следовательно:

 

 

b = 0i + (–5)j = –5j

 

 

Остальные векторы попробуйте выразить сами. Спасибо за внимание! =)

Предмет: Основы высшей математики | | | Теги: математика, базис, высшая математика, векторы
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close