Какие существуют основные типы систем координат и как перейти от одной системы к другой?


 

Полярные координаты

 

 

Полярные координаты задаются на плоскости, то есть в двух измерениях. Представим себе координатную плоскость с перпендикулярными осями х и у и точкой отсчёта О.

 

Назовём точку О полюсом и расположим на нашей плоскости случайную точку М. В обычной декартовой системе координат точка М задавалась бы точками Мх и Му, но в полярных координатах М задаётся двумя другими числами: ρ и φ.

 

 

ρ – это расстояние от полюса О до точки М, называемое полярным радиусом. φ – угол между осью х и полярным радиусом ρ, причём поворот от оси х происходит против часовой стрелки. φ называется полярным углом.

 

Таким образом, пара чисел ρ и φ однозначно задают точку М на плоскости. Точка с указанными полярными координатами обозначается М(ρ, φ).

 

Как перейти от декартовой системы координат к полярной, понятно из рисунка. Косинус угла φ – это отношение прилежащего катета (в данном случае проекции на ось х) к гипотенузе (в данном случае ρ), то есть cosφ = x/ρ. Отсюда х = ρ cosφ. По аналогии y = ρ sinφ.

 

Переход от полярной системы координат к декартовой тоже очевиден. ρ находится по теореме Пифагора: ρ = √(х2 + у2). Тангенс φ находится по определению тангенса, то есть как отношение противолежащего катета (в данном случае у) к прилежащему (в данном случае – х).

 

Перечислим все формулы перехода от декартовых координат к полярным и обратно:

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Цилиндрические координаты

 

 

Цилиндрические координаты задаются в трёхмерном пространстве. Возьмём нашу плоскость хОу и через точку О проведём ось z, перпендикулярную осям х и у. Теперь опять случайно расположим где-нибудь точку М, только уже не на плоскости, а в пространстве. Спроецируем точку М сначала на плоскость хОу (обозначим полученную точку как N), а затем – на ось Оz (обозначим полученную точку Мz).

 

 

Пусть ρ и φ – полярные координаты точки N. Для задания точки М нам осталось только подняться по оси z. z в данном случае – длина отрезка ОМz. Таким образом, цилиндрические координаты точки Мρ, φ и z – однозначно определяют положение точки в пространстве. Точка с цилиндрическими координатами обозначается как М(ρ, φ, z).

 

Название «цилиндрические координаты» связано с тем, что при ρ = const плоскость MNO, вращаясь, образует цилиндр.

 

Формулы перехода из декартовой системы координат в цилиндрическую и обратно аналогичны переходу в полярную систему координат и обратно, только с добавлением того, что z = z.

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Сферические координаты

 

 

Сферические координаты также задаются в трёхмерном пространстве. Как и в случае цилиндрических координат, будем работать со взамно-перпендикулярными осями х, у и z и началом координат О. Опять возьмём произвольную точку М, опустим её проекцию на плоскость хОу и назовём полученную точку точкой N.

 

Пусть φ – полярный угол точки N, r – длина отрезка ОМ (от начала координат до точки М), а θ – угол между отрезком ОМ и осью z.

 

 

Сферическими координатами точки М называются числа r, φ и θ, однозначно задающие данную точку в пространстве. Причём координата φ называется долготой, а θширотой. Точка с данными сферическими координатами обозначается М(r, φ, θ).

 

Координатная поверхность ρ = const является сферой, отсюда и название – «сферические координаты».

 

Для определения формул перехода из декартовых координат в сферические и обратно зададим коэффициент a, где а = ON. Как видно из рисунка, угол MON равен (90° – θ). Если вспомнить, что π = 180°, то, очевидно, 90° = π/2, и угол MON = π/2 – θ. Косинус угла MON – это отношение прилежащего катета (ON) к гипотенузе (r), и при умножении косинуса MON на r получится ON или a.

 

А через а уже легко выразить х и у: х = а cosφ, y = a sinφ. z выражается через r: z = r cosθ. Обратный переход для r происходит по правилу параллелограмма (аналогия теоремы Пифагора, но в пространстве, а не на плоскости). А косинус θ выражается через z и r.

 

Вот список формул для перехода из декартовой системы координат в сферическую и наоборот:

 

 

-------------- ⊰ ∾ ⊱ --------------

 

 

Как можно видеть, цилиндрические и сферические координаты являются обобщением полярных координат для трёхмерного пространства и включают в себя плоскость полярных координат как подмножество. В случае цилиндрической системы к полярным координатам добавляется ещё одна пространственная переменная, а в случае сферической системы – угловая. Спасибо за внимание!

Предмет: Математика (остальное) | | | Теги: системы координат, Вывод, математика, школьная математика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close