Как найти обобщённые производные с помощью определения обобщённой функции?


Сегодня рассмотрим примеры дифференцирования обобщённых функций. Теория изложена в предыдущей статье.

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Пример 1

 

Вычислить обобщённую производную функции Хевисайда

 

Функция Хевисайда имеет вид:

 

 

 

Как можно видеть, функция Хевисайда имеет разрыв первого рода в точке 0, значит, к данной функции следует применять обобщённое дифференцирование.

 

Распишем обобщённую производную от функции Хевисайда в виде функционала и определённого интеграла:

 

 

Разложим полученный интеграл по частям:

 

 

Часть η(х)φ(х) обращается в нуль благодаря тому, что основная функция не равна нулю только на конечном промежутке (по определению основной функции). А интеграл справа необходимо разложить на две части, чтобы исключить точку разрыва (не забываем про предел):

 

 

Точка разрыва х0 в случае функции Хевисайда равна 0. Разложим оба интеграла по частям:

 

 

Части без интеграла раскладываются следующим образом:

 

 

Основная функция φ на бесконечности равна 0, и, внося знак «минус» под большие скобки, получим η(0 + 0) – η(0 – 0). Это есть скачок функции Хевисайда в точке разрыва (из значения справа вычитается значение слева). Этот разрыв в данном случае равен

 

[ η ]x=0 = (1 – 0) = 1

 

А φ(0) по определению δ-функции Дирака есть функционал (δ(х), φ(х)). Учитывая это, имеем в итоге:

 

 

Интеграл слева – другая запись функционала вида ({η'}, φ(x)). Классическая производная функции Хевисайда {η'} существует и равна 0 во всех точках, кроме х = 0, т.к. на остальном интервале функция равна константе, а производная от константы – нуль. Итого:

 

 

η' = (η'(x), φ(x)) = (δ(x), φ(x)). По определению равенства функционалов, если части справа (φ) равны, то равны и части слева. Следовательно,

 

 

Обобщённая производная от функции Хевисайда равна δ-функции Дирака.

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Пример 2

 

Вычислить обобщённую производную функции sign(x) (сигнум)

 

Функция сигнум имеет вид:

 

 

 

Действия по нахождению обобщённой производной аналогичны, поэтому подробно расписывать в этот раз не буду, дам лишь решение и ответ. Если на каком-то этапе возникнут вопросы – не стесняйтесь обращаться в комментариях.

 

 

 

Обобщённая производная от функции sign(x) равна удвоенной δ-функции Дирака.

 

 

-------------- ⊰ φ ⊱ --------------

 

 

Задачи для самостоятельного решения:

 

  • Найти обобщённую производную от функции xη(x), где η(х) – функция Хевисайда.
  • Найти обобщённую производную от функции sin|x|. Подсказка:

 

 

Спасибо за внимание!

Предмет: Обобщённые функции | | | Теги: функция Дирака, математика, обобщённые производные, обобщённые функции, сигнум, высшая математика, функция Хевисайда, математическая физика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close