Что такое квантовомеханический спин и как проводятся измерения в квантовой физике с математической точки зрения?


«Существует лишь то, что можно измерить»

 

Макс Планк

 

 

Спин – исключительно квантовомеханическое явление, которому невозможно подобрать аналогию в привычной для нас классической физике. Спин – собственный момент импульса элементарных частиц, но представление о том же электроне, как о шарике, вращающемся вокруг своей оси, в корне неверно.

 

Всё же какими-то аналогиями надо пользоваться, поэтому упрощённо будем представлять спин как вектор, указывающий в определённом направлении.

 

 

Рассмотрим спин отдельно от частиц, которым он присущ (для добавления общности нашим рассуждениям), и постараемся его измерить. Пусть система может находиться в двух возможных состояниях:

 

 

σ = +1 или σ = –1

 

 

Будем работать в трёхмерной декартовой системе координат:

 

 

Измерение невозможно без прибора, и в квантовой физике это имеет принципиальное значение.

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Расположим прибор для измерения спина вдоль оси z. Изначально мы не знаем, в каком состоянии находится система (σ = +1 или σ = –1), то есть каким значением спина она обладает.

 

После измерения спина вдоль оси z, прибор выдаст нам его значение: либо +1, либо –1. Положим, мы получили σ(z) = +1. Теперь, раз за разом измеряя спин в том же положении прибора, мы будем получать то же значение спина: σ(z) = +1.

 

Давайте перевернём прибор на 180°, то есть направим его вдоль оси z, но в другом направлении. Такое измерение даст нам результат σ(z) = –1. Аналогично, если бы изначально прибор показал σ(z) = –1, то при переворачивании мы бы получили значение σ(z) = +1. Пока всё довольно логично: если σ – это обычный ориентированный вектор, то изменение направления прибора на противоположное просто меняет его знак.

 

Хорошо, давайте пойдём дальше и измерим компоненту этого вектора вдоль оси x: повернём прибор на 90°, расположив его вдоль оси х. Если вектор направлен, как мы получили, вдоль оси z, то было бы естественно, что компонента этого вектора по оси х (проекция на ось х) равна 0, ведь оси z и х перпендикулярны (ортогональны).

 

Тут начинают проявляться отличия между классической и квантовой физикой: вместо ожидаемого нуля прибор показывает либо σ(х) = +1, либо σ(х) = –1. Причём, измеряя спин по оси х повторно, мы будем получать одно и то же значение, как и в случае с осью z: если при первом измерении по оси х σ(х) получилось равным, скажем, +1, то при всех последующих измерениях вдоль этой оси БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ ПРИБОРА результат будет одинаковый.

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Давайте проведём такой эксперимент: будем приготавливать спин по оси z в состоянии σ(z) = +1 и поворачивать прибор вдоль оси х, измеряя компоненту спина по оси х. Так вот, в результате множественного повторения данного эксперимента оказывается, что статистическое число событий σ(х) = +1 и σ(х) = –1 одинаково. То есть вероятность спина принять значение +1 равна вероятности принять значение –1, то есть = 50%.

 

Таким образом, вместо классического результата, где нулю была бы равна сама компонента по оси х, нулю оказывается равен средний результат наших измерений.

 

Теперь обобщим наш результат и после приготовления спина в состоянии σ(z) (после измерения спина вдоль оси z) повернём прибор на угол θ относительно оси z. Прибор теперь будет направлен вдоль единичного вектора i (длина единичного вектора = 1):

 

 

В классической механике, если σ – вектор (направленный вдоль оси z), то результатом такого эксперимента было бы σ = cosθ (проекция единичного вектора i на ось z). Но в квантовой физике результат всегда равен либо +1, либо –1, а косинусу θ равно СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ получаемых результатов.

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

Наконец, вместо оси z ориентируем прибор вдоль произвольного направления, характеризуемого единичным вектором k, измерим спин, а затем повернём прибор на произвольный угол θ, располагая его вдоль единичного вектора i. Результатом, как Вы уже догадались, будет ±1, а средним значением результатов нескольких подобных измерений окажется косинус между векторами i и k или же их скалярное произведение:

 

 

Длины единичных векторов равны 1, значит, их скалярное произведение будет просто равно косинусу угла между ними. Математически среднее значение обозначается при помощи скобочной нотации Дирака, и наше общее выражение для среднего значения компоненты спина вдоль оси будет:

 

 

〈σ〉 = i • k

 

 

-------------- ⊰ ◉ ⊱ --------------

 

 

В классической механике прибор оказывает бесконечно малое воздействие на измеряемую им систему. В квантовой физике это не так. Любое взаимодействие с системой, измеряющее её характеристики, изменяет другие характеристики этой системы. Как мы видели выше, измерение одной компоненты спина разрушает информацию о других его компонентах. Поэтому оказывается невозможным знать значение спина вдоль двух разных осей.

 

Ничего не напоминает? Да-да, это тот самый принцип неопределённости. Кроме самых известных «положения и импульса» и «энергии и времени», принцип неопределённости охватывает и компоненты спина вдоль разных осей. Этот принцип изящно объясняется с помощью математики, в частности, с помощью понятия некоммутативности умножения матриц. Но, пожалуй, оставим эту интереснейшую тему на другой раз, а пока - спасибо за внимание!

Предмет: Математика квантовой физики | | | Теги: измерение, квантовая физика, векторы, физика, СПИН
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close