Как выводится волновое уравнение?


Рассмотрим свободные колебания струны с закреплёнными концами. Пусть струна длины l направлена вдоль оси Ох на отрезке от 0 до l. Концы струны закреплены в точках x = 0 и x = l. Колебания струны – это отклонения струны от первоначального положения.

 

Наша задача – определение формы струны в любой момент времени t и закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

 

Будем рассматривать малые отклонения струны, чтобы движение точек струны происходило перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. Таким образом, процесс колебания будет описываться одной функцией u(x, t), которая даёт величину перемещения точек струны с абсциссой х в момент t. Также упрощение до малых колебаний позволяет говорить о том, что длина элемента струны М1М2 равна её проекции на ось Ох, то есть х2 – х1.

 

 

Натяжение Т во всех точках струны одинаковое и направлено по касательной к профилю струны.

 

 

Рассмотрим элемент струны MM'. На его концах по касательной к струне действует сила Т. Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ+Δφ. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на MM', будет равна:

 

 

Угол φ мал, следовательно, tg φ ≈ sin φ.

 

 

Как известно, тангенс угла наклона касательной к графику функции есть производная этой функции, поэтому можем каждый из этих тангенсов превратить в производную:

 

 

Малое приращение первой производной даёт нам вторую производную следующего вида:

 

 

θΔх столь мало, что им можно пренебречь, поэтому:

 

 

Это выражение для внешних сил, приложенных к струне. Чтобы теперь получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять к силам инерции.

 

Пусть ρ – линейная плотность струны, тогда масса m элемента струны будет равна ρΔх. Ускорение a элемента равно 2u/∂t2 (по определению ускорения как второй производной от координаты). Сила инерции находится по закону Ньютона F = ma, то есть, в нашем случае:

 

 

Наконец, приравняем внешние силы к силам инерции:

 

 

Сократим Δх и заменим T/ρ = a2. В итоге получим ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ:

 

 

Что и требовалось.

 

Спасибо за внимание!

Предмет: Математическая физика | | | Теги: математика, математическая физика, волновое уравнение, дифференциальные уравнения, Вывод, высшая математика
Другие лекции по данной тематике:
Всего комментариев: 0
Имя (выберите любое):
Email (не будет отображаться в комментарии):
Все смайлы
Числа с картинки:
close